任意有界域上分数阶拉普拉斯算子的网格覆盖有限差分方法

针对任意有界域上分数阶拉普拉斯算子的数值逼近，提出了一种网格覆盖有限差分方法。该方法使用非结构单纯形网格和覆盖均匀网格表示底层域，并基于均匀网格有限差分逼近以及从非结构网格到均匀网格的数据传递来构造逼近。该方法充分利用了均匀网格有限差分通过快速傅里叶变换实现高效矩阵-向量乘法的优势，以及非结构网格处理复杂几何和网格自适应的优势。研究表明，若数据传递具有满列秩且列和为正，则其刚度矩阵相似于对称正定矩阵，从而可逆。以分段线性插值作为数据传递的一个特例进行了研究。证明了若均匀网格的间距小于或等于与非结构网格最小单元高度成正比的正界，则线性插值的满列秩和正列和得以保证。此外，针对分数阶拉普拉斯算子齐次 Dirichlet 问题所导出的线性系统，提出了一种稀疏预条件子用于迭代求解。数值算例表明，新方法与现有有限差分和有限元方法具有相似的收敛行为，且稀疏预条件效果良好。进一步地，新方法可轻易与现有网格自适应策略结合。本文还给出了与所谓 MMPDE 移动网格方法相结合所获得的数值结果。