均匀网格上多维非局部拉普拉斯算子的高效有限元方法

在非结构化网格上计算非局部拉普拉斯算子有限元离散化的刚度矩阵是困难的，因为该算子是非局部的，甚至可能是奇异的。在本文中，我们关注 $d$ 维矩形域内均匀网格上非局部拉普拉斯算子的 $C^0$ 分段线性有限元方法（FEM）。通过利用有限元基与 B 样条（具有优良的卷积性质）之间的联系，我们能够将刚度矩阵元素涉及的 $2d$ 维积分降维为在 $d$ 维球体上的积分，其被积函数显式包含三次 B 样条与核函数，这允许对奇异性进行显式研究并在球面坐标系中精确计算此类积分。我们证明非局部刚度矩阵具有块 Toeplitz 结构，因此矩阵-向量乘法可以使用快速傅里叶变换（FFT）实现。此外，当相互作用半径 $\delta\to 0^+$ 时，非局部刚度矩阵自动退化为局部刚度矩阵。尽管我们在均匀网格上的半解析方法无法推广到具有非结构化网格的一般区域，但所得求解器能够与网格叠加技术无缝结合，用于任意有界区域上的非局部拉普拉斯算子。