基于高效优化的求积法用于非局部问题的变分离散

将非局部问题写成变分形式并以有限元（FE）方法离散化，有助于利用非局部向量微积分证明此类格式的良好适定性、收敛性和稳定性。采用 FE 方法还便于对复杂区域几何进行网格划分以及与局部问题的 FE 方法耦合。然而，非局部弱问题涉及双重积分的计算，计算代价高昂且存在若干挑战。特别地，与刚度矩阵相关的变分形式的内层积分定义于 FE 网格单元与半径为 $\delta$ 的球的交集上，其中 $\delta$ 为非局部相互作用的范围。识别并参数化这些交集是一个非平凡的计算几何问题。本工作中，我们提出一种求积技术，其中内层积分使用分布于整个球上的求积点执行，而不考虑其与单元的交集方式，权重基于广义移动最小二乘法计算。因此，与所有先前采用的方法相反，我们的技术不需要逐单元积分，并完全规避了单元-球交集的计算。本文考虑一维和二维的分片线性连续 FE 逼近实现，聚焦于单元尺寸 h 与非局部半径 $\delta$ 成比例的典型实用计算情形。当边界条件被谨慎处理且变分形式的外层积分被精确计算时，所提方法在 $h \sim \delta \to 0$ 极限下是渐近兼容的，在所有维度上使用均匀和非均匀网格均具备至少一阶 L^2 收敛性。