基于机器学习的非线性椭圆型偏微分方程粗糙系数局部Dirichlet-to-Neumann图的学习
数值分析
2024-05-08 v1 数值分析
摘要
涉及高对比度和振荡系数的偏微分方程(PDEs)在科学和工业应用中常见。其数值逼近是一项具有挑战性的任务，可通过例如多尺度有限元分析来解决。对于线性问题，多尺度有限元法(MsFEM)已为人所熟知，且已知一些可用于非线性PDEs的可行扩展。然而，该方法的某些特征似乎基于线性特性。特别是，传统MsFEM依赖于计算的重复使用。例如，刚度矩阵可仅计算一次，即可用于多个右侧项，或作为多层迭代算法的一部分。大致而言，方法的离线阶段相当于预编译局部线性Dirichlet-to-Neumann(DtN)算子。我们提出了将MsFEM与机器学习工具结合的初步结果。通过学习局部非线性DtN图来实现对MsFEM的非线性扩展。得到的基于学习的多尺度方法将在包含p-Laplacian和退化非线性扩散的模型非线性PDEs上进行测试。
引用
@article{arxiv.2405.04433,
title = {Learning local Dirichlet-to-Neumann maps of nonlinear elliptic PDEs with rough coefficients},
author = {Miranda Boutilier and Konstantin Brenner and Larissa Miguez},
journal= {arXiv preprint arXiv:2405.04433},
year = {2024}
}
备注
19 pages, 14 figures, submitted to CEMRACS 2023 proceedings