基于 Dirichlet-to-Neumann 映射的数值椭圆 PDE 逆问题的机器学习与有限元方法框架
数值分析
2025-11-12 v3 数值分析
摘要
偏微分方程 (PDE) 的逆问题在地球物理学、生物医学成像和材料科学等诸多应用领域中至为重要，旨在从间接测量数据推断未知的物理属性。本文提出一种新方法，仅利用边界数据求解椭圆 PDE 的逆问题。该方法利用 Dirichlet-to-Neumann (DtN) 映射，这一技术捕捉边界输入与通量响应之间的关系，从而能够仅通过边界测量来重建域内未知的物理属性。我们的框架采用自监督式机器学习算法，内循环中嵌入有限元方法 (FEM) 以求解正问题，确保高精度。此外，我们的方法在仅有部分边界观测的极具挑战性的情形下依然有效，这在现实场景中十分常见。该方法还通过引入精心设计的损失函数来有效处理数据中的断裂现象。这种结合 FEM 与机器学习的方法，为广泛范围的逆问题提供了稳健、准确的求解策略，助力于医学诊断、地下资源勘探等应用场景中关键参数的更精准估计。
引用
@article{arxiv.2504.03895,
title = {A Machine Learning and Finite Element Framework for Inverse Elliptic PDEs via Dirichlet-to-Neumann Mapping},
author = {Dabin Park and Sanghyun Lee and Sunghwan Moon},
journal= {arXiv preprint arXiv:2504.03895},
year = {2025}
}