基于机器学习的计算力学偏微分方程求解的能量方法：概念、实现与应用
机器学习
2020-02-19 v2 机器学习
偏微分方程分析
摘要
偏微分方程（PDE）是数学上建模科学与工程领域不同现象的基础。求解它们是精确认知自然与工程系统行为的关键步骤。一般而言，为在可接受程度上求解表征真实系统的 PDE，解析方法通常不足，必须借助离散化方法。对工程问题而言，最可能的知名选择是有限元方法（FEM）。然而，如无网格方法和等几何分析（IGA）等强力替代方案亦可供选用。其基本思想是通过专门构建具备某些理想性质的函数来近似 PDE 的解。本文中，我们探索将深度神经网络（DNNs）作为近似的一种选项。它们已在视觉识别等领域展现出令人印象深刻的成果。此处将 DNNs 视为函数近似机器。定义其结构具有极大灵活性，且其在架构与实现算法效率上的重要进展使 DNNs 成为近似 PDE 解的极具吸引力的替代方案。我们聚焦于计算力学感兴趣的应用。多数决定探索此可能性的研究采用了配置策略。本文中，我们聚焦于力学问题并分析 PDE 的能量格式。力学系统的能量似乎是机器学习方法处理力学问题的自然损失函数。作为概念验证，我们处理了若干问题并探索该方法在工程应用中的能力。
引用
@article{arxiv.1908.10407,
title = {An Energy Approach to the Solution of Partial Differential Equations in Computational Mechanics via Machine Learning: Concepts, Implementation and Applications},
author = {Esteban Samaniego and Cosmin Anitescu and Somdatta Goswami and Vien Minh Nguyen-Thanh and Hongwei Guo and Khader Hamdia and Timon Rabczuk and Xiaoying Zhuang},
journal= {arXiv preprint arXiv:1908.10407},
year = {2020}
}