非均匀分数阶拉普拉斯算子的数值均匀化

本文提出了一种数值多尺度方法来求解具有非均匀扩散系数的分数阶拉普拉斯方程。当系数非均匀时，这会增加计算成本。此外，分数阶拉普拉斯算子在其标准形式下是一个非局部算子，然而 Caffarelli-Silvestre 扩展允许对方程进行局部化处理。这增加了一个额外空间维度以及一个依赖于分数阶次的奇异/退化系数的复杂性。我们使用子网格校正方法，在自然的加权索伯列夫空间中校正基函数，并证明这些校正可以被截断，以设计一个具有最优收敛率的计算高效方案。该方法的一个关键要素是使用准插值算子来构造细尺度空间。由于扩展问题在临界边界上的解是主要关注点，我们构造了一个投影准插值，该插值在斯科特-张算子的思想下，在子集上同时具有 $d$ 维和 $d+1$ 维平均值。我们证明该算子在加权索伯列夫空间中满足局部稳定性和局部逼近性质。我们进一步证明，对于足够光滑的力，并利用临界边界上的全局 $L^2$ 投影，我们可以获得更高的收敛速度。我们给出了一些数值算例，在 $2+1$ 维中利用我们的投影准插值处理解析和非均匀情况，以展示该方法的收敛速度和有效性。