使用 Caffarelli-Silvestre 扩展求解谱分数拉普拉斯方程的深度 Ritz 方法
数值分析
2021-12-30 v2 数值分析
摘要
在本文中，我们提出了一种求解高维谱分数拉普拉斯方程的新方法。利用 Caffarelli-Silvestre 扩展， 维谱分数方程被重新表述为 维的正则偏微分方程。我们将扩展后的方程转化为最小 Ritz 能量泛函问题，并在一类特殊的深度神经网络中寻找其极小化子。此外，基于神经网络的逼近性质，我们建立了对深度 Ritz 方法所产生误差的估计。数值结果证明了所提方法在求解高达十维分数拉普拉斯方程方面的有效性。在技术上，该方法中我们设计了一种特殊的基于网络的结构，以适应真实解的奇异性和指数衰减。同时，还开发了一种结合蒙特卡罗方法和 sinc 求积法的混合积分技术，以更高精度计算损失函数。
引用
@article{arxiv.2108.11592,
title = {Deep Ritz method for the spectral fractional Laplacian equation using the Caffarelli-Silvestre extension},
author = {Yiqi Gu and Micheal K. Ng},
journal= {arXiv preprint arXiv:2108.11592},
year = {2021}
}