分数阶拉普拉斯算子的混合有限元-谱方法：逼近理论与高效求解器

提出了一种用于近似二维和三维分数阶泊松问题的数值格式。该格式基于遵循Caffarelli和Silvestre (2007)将定义在 $\Omega$ 上的原问题重新表述为拉伸域 $\mathcal{C}=\Omega\times[0,\infty)$ 上。所得退化椭圆整数阶偏微分方程随后用混合有限元-谱格式近似。有限元用于平行于问题域 $\Omega$ 的方向，而适当的谱方法用于拉伸方向。该格式的谱部分要求我们近似 $\Omega$ 上整数阶拉普拉斯算子的真实特征值。我们推导了一个先验误差估计，其考虑了使用近似代替真实特征值所产生的误差。我们进一步提出了一种基于外尔定律和特征值问题有限元离散化来选择特征值近似的策略。由混合有限元-谱格式产生的线性代数方程组被分解为可使用的块，可使用诸如多重网格和共轭梯度等标准迭代求解器有效求解。二维和三维数值例子表明，该方法在复杂度方面是准最优的。