面向多维碎片化方程的一致型有限元方法的误差分析

本文发展并分析了一种高阶有限元方法，用于求解多维碎片化方程。据我们所知，这是首个为多维碎片化模型构建严格、一致有限元框架以进行高阶空间逼近的研究。该方案在变分设置下形式化，其稳定性和收敛性通过详细的数学分析得出。具体而言，采用 $L^2$ 投影算子，在对精确解施加适当的正则性假设后，获得最优阶数的空间误差估计。对于时间离散，采用二阶后向差分公式 (BDF2)，得到的全离散方案在时间上实现二阶收敛。理论分析表明，空间上达到 ${\cal O}(h^{r+1})$ 的 $L^2$-最优收敛阶，时间上具备二阶精度。通过二维和三维的数值实验验证了理论结果。计算结果确认了预测的误差估计，并展示了该方法在 various choices of fragmentation kernels and selection functions 下的鲁棒性。