针对具有非光滑初值的分数阶演化方程的有限体积元方法的误差分析

本文考虑了一种有限体积元（FVE）方法，用于对涉及时间方向阶数为 $\alpha \in (0,1)$ 的 Riemann-Liouville 分数阶导数的时间分数阶扩散方程进行空间逼近。改进了早期结果（Karaa 等，IMA J. Numer. Anal. 2016），建立了半离散问题在光滑和中等光滑初值（即 $v\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ 和 $v\in H^1_0(\Omega)$）下的 $L^2(\Omega)$ 和 $H^1(\Omega)$ 范数中的最优误差估计。对于非光滑数据，即 $v\in L^2(\Omega)$，证明了最优 $L^2(\Omega)$ 误差估计仅需在三角剖分上的附加假设下成立，已知该假设对对称三角剖分满足。还证明了超收敛结果，并由此建立了 $L^\infty(\Omega)$ 范数中的拟最优误差估计。进一步，分析了两种使用由向后欧拉和二阶向后差分方法生成的卷积求积进行时间离散的全离散格式，并推导了光滑和非光滑初值下的误差估计。基于标准 Galerkin 有限元解与 FVE 解的比较，并利用 FVE 解算子的拉普拉斯变换工具及其半群型性质，我们的分析以统一方式推广到若干时间分数阶演化问题。最后，进行了若干数值实验以证实我们的理论发现。