分数阶多孔介质方程的有限元逼近

我们构造了一种有限元方法，用于在有界开Lipschitz多面体域$\Omega \subset \mathbb{R}^{d}$（$d = 2$或$3$）上数值求解分数阶多孔介质方程。模型中的压力定义为分数阶泊松方程的解，涉及基于谱定义的分数阶Neumann拉普拉斯算子。我们进行了严格的极限过程，当空间和时间离散参数趋于零时，证明了由所提数值方法定义的有限元逼近序列的一个子序列收敛到所考虑初边值问题的有界非负弱解。因此，该结果可视为基于Neumann拉普拉斯算子的分数阶多孔介质方程初边值问题非负、能量耗散弱解存在性的构造性证明。收敛性证明依赖于谱分数阶拉普拉斯算子的有限元逼近结果和非线性偏微分方程的紧致性技巧，以及方程的性质，这些性质被证明可由数值方法继承。我们还证明了所考虑问题的总能量随时间呈指数衰减。