多孔介质方程压力形式的自适应有限元求解

多孔介质方程解的正则性缺失给其理论与数值研究带来了严峻挑战。理论研究中常用的策略是利用方程的压力形式，其中引入一个称为数学压力的新变量。已知该新变量比原变量具有好得多的正则性，且自由边界运动的 Darcy 定律可自然地用这一新变量表达。压力形式尚未用于数值研究。本文旨在研究其在多孔介质方程自适应有限元求解中的使用。采用 MMPDE 移动网格策略进行自适应网格移动，而空间离散使用线性有限元。自由边界通过以 Euler 格式积分 Darcy 定律显式追踪。给出了三个二维算例的数值结果。该方法在压力变量上被证明在空间上二阶、时间上一阶。此外，自由边界位置误差的收敛阶在最大范数下近乎二阶。然而，数值结果也显示，在原变量下该方法在 $L^1$ 范数中的收敛阶介于一阶与二阶之间，或在 $L^2$ 范数中介于 0.5 阶与一阶之间。尽管如此，对于大指数情形或需要更精确自由边界位置的情形，当前方法相较于基于原形式的数值方法可提供某些优势。