用于孔隙弹性问题及肺部建模的低阶有限元方法

在本论文中，我们开发了一种稳定的有限元方法，用于求解孔隙弹性方程，从而能够求解诸如人类肺部等生物组织的复杂模型。对于所提出的数值格式，我们采用尽可能低的近似阶：压力采用分段常数近似，位移和流体通量采用分段线性连续单元。由于压力的不连续近似，能够可靠地捕捉由材料系数变化或边界层解引起的陡峭压力梯度。我们首先开发了用于小变形下有效的线性孔隙弹性方程近似的理论结果。特别地，我们证明了离散化问题的存在唯一性、能量估计和最优先验误差估计。然后我们扩展该工作，构建了求解大变形下有效孔隙弹性方程的稳定有限元方法。我们给出了该非线性问题的线性化和离散化，并详细说明了实现过程。我们使用大量测试问题严格测试了线性和非线性有限元方法，以验证理论稳定性和收敛性结果，以及该方法可靠捕捉陡压力梯度的能力。最后，我们推导了与气道流体网络模型耦合的肺实质孔隙弹性模型，并开发了求解该耦合模型的稳定方法。在真实肺部几何上的数值模拟说明了孔隙弹性介质与网络流动模型之间的耦合，并且潮式呼吸的模拟被证明能复现全局生理真实测量值。我们还研究了气道收缩和组织弱化对通气、组织应力和肺泡压力分布的影响。