针对非线性多孔弹性模型（含 Hencky-Mises 应力张量）的新型多物理有限元方法的最优误差估计

本文发展了一种用于求解非线性多孔弹性模型（带 Hencky-Mises 应力张量）的新型多物理有限元方法。通过引入新的记号，将原始模型重新表述为流体-流体耦合问题，视作广义非线性 Stokes 子问题与反应扩散子问题的耦合。随后，建立了该重构问题的弱解的存在性与唯一性，提出一种稳定的全离散多物理有限元方法，采用拉格朗日有限元元素对空间进行离散化，并使用后向 Euler 方法进行时间离散化。通过确保参数 $\kappa_1$ 和 $\kappa_3$ 在 $\lambda$ 趋于无穷大时仍保持有界且非零，所提方法对广泛范围的拉格朗日元素对保持稳定性。基于非线性项 $\mathcal{N}(\varepsilon(\mathbf{u}_h^{n}))$ 的连续性与单调性，本文给出稳定性分析，并推导位移向量 $\mathbf{u}$ 和压力 $p$ 在 $L^2$ 范数和 $H^1$ 范数下的最优误差估计。特别是，本文通过辅助问题和 Poincaré 不等式，建立了位移 $\mathbf{u}$ 在 $L^2$ 范数的误差估计，这一结果在以往文献中尚未出现。此外，本文给出数值实验以验证理论分析，结果表明收敛率达到最优。最后，本文总结了工作内容。