分数阶拉普拉斯方程解的若干表示公式

本文致力于研究多维空间中分数阶 $s\in (0,1)$ 的拉普拉斯算子。我们首先建立了齐次 Dirichlet 问题解的部分导数的表示公式。在此过程中，我们获得了分数阶格林函数和分数阶 Robin 函数的类 Pohozaev 恒等式。后者将 Brézis 和 Peletier 在经典拉普拉斯情形下得到的公式（见 \cite{Bresiz}）推广到了分数阶情形。作为一个应用，我们考虑了将点涡系统推广到分数阶拉普拉斯情形的粒子系统。我们观察到，对于有界域中的单个粒子，分数阶 Robin 函数的性质对于稳态的研究至关重要。我们还将经典的 Hadamard 变分公式推广到分数阶格林函数以及齐次 Dirichlet 问题弱解的形状导数。最后我们转向非齐次 Dirichlet 问题，并将 J.L. Lions 关于调和函数的再生核希尔伯特空间核的公式（见 \cite{Lions}）推广到 $s$-调和函数的情形。我们观察到，尽管算子的阶不是 $2$，该公式看起来仍像 Hadamard 变分公式，从而以否定的方式回答了 \cite{ELPL} 中提出的一个开放问题。