用分数阶算子正则化 Laplace 方程的 Cauchy 问题
数值分析
2023-09-26 v1 数值分析
摘要
在本文中，我们借助以分数阶导数替代整数阶导数来正则化这一高度病态问题的视角，重新审视经典的 Laplace 方程 Cauchy 问题以及另外两个相关问题。我们本着拟可逆性的精神，将一个经典上严重不适定的 PDE 问题替换为邻近的适定或仅轻微不适定的问题。为了能够利用已知的一维 Abel 型分数导数的稳定效应，我们在一个特定的矩形（高维空间中的柱形）几何中工作。我们从简单的 Cauchy 问题开始，即从部分边界（柱形底面）上的 Dirichlet 与 Neumann 迹重建该域内调和函数的值，并探索三种用分数阶算子实现此目的的方案。另外两个相关问题分别是自由边界的恢复，以及同时恢复边界条件中的阻抗函数。我们的主要技术将是 Newton 法。本文包含了所设计方法的数值重建与收敛结果。
引用
@article{arxiv.2309.13617,
title = {Regularising the Cauchy problem for Laplace's equation by fractional operators},
author = {Barbara Kaltenbacher an William Rundell},
journal= {arXiv preprint arXiv:2309.13617},
year = {2023}
}