关于拉普拉斯方程柯西问题的准可逆解:正则性与误差估计

我们关注经典的拉普拉斯方程不适定柯西问题。一种逼近与相容数据相关联之解的方法,是考虑依赖于小参数 $\varepsilon>0$ 的一族正则化适定问题。在此背景下,为证明有限元方法的收敛性,必须获得这些正则化问题解的正则性结果,且结果在 $\varepsilon$ 上一致成立。本工作中,我们在光滑区域和二维多边形几何中获得了这些结果。在存在角点的情况下,由于正则化问题的特殊结构,经典的 à la Grisvard 技术不再适用,我们转而采用 Kondratiev 方法。我们详细描述了该过程,以在所有估计中追踪对 $\varepsilon$ 的依赖性。本研究的主要新颖之处在于其极限问题在任何框架下都是不适定的。