含噪声耦合椭圆 sine-Gordon 方程 Cauchy 问题：一般核函数正则化分析与可靠计算工具

非线性偏微分方程控制问题的数值方法的发展，为科学与工程诸多领域的模拟提供了坚实的论证基础。本文探讨了带 Cauchy 数据的耦合椭圆 sine-Gordon 方程的正则化方法。该方程组源于模拟超导中耦合 Josephson 结的耦合双曲 sine-Gordon 方程的静态情形，目前用于描述 Josephson $\pi$-结。一般而言，Cauchy 问题是不适定的，且此处 Hadamard 不稳定性剧烈发生。通过推广基于核函数的正则化方法，我们提出了一个稳定的近似解。误差估计证实，该解在 $L^2$ 范数下强收敛于精确解。本文的主要关注点还在于如何计算由类似积分方程构成的正则化解。我们采用所提出的成功逼近高振荡积分的技术，并应用类 Picard 迭代以构建高效可靠的计算工具。这些结果被视为对以往许多工作的改进与推广。本文还附带了一个数值算例，展示了该理念的潜力。