线性与非线性椭圆方程温和解的逼近

本文研究了线性和半线性椭圆方程的 Cauchy 问题。一般而言，这些方程的形式为 $$\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}u\left(t\right)=\mathcal{A}u\left(t\right)+f\left(t,u\left(t\right)\right),\quad t\in\left[0,T\right],$$ 其中 $\mathcal{A}$ 是具有紧致逆的正定自伴算子。众所周知，这类问题是病态的。基于与该算子相关的正交特征基和相应的特征值，我们使用分离变量法以级数形式展示解。据此，我们提出了一种修正方法，并在许多公认的情况下给出了误差估计。为了说明，构建了两个数值算例：修正的 Helmholtz 方程和椭圆型 sine-Gordon 方程，以展示所提方法的可行性和效率。