分布空间中椭圆复形的Cauchy问题

设$D$为$n$维欧氏空间中具有光滑边界的有界区域。我们指出适当的负光滑性Sobolev空间，用于研究一阶算子椭圆微分复形$\{A_i\}$的非齐次Cauchy问题。特别地，我们描述了来自相应Sobolev空间的（向量）函数$u$的切向部分$t_i(u)$和法向部分$n_i(u)$在边界上的迹，并给出问题的恰当提法。若复形的Laplacian满足局部唯一性条件，则我们获得问题可解的充要条件，并给出其精确解和近似解的公式。对于Lebesgue空间$L^2(D)$中的Cauchy问题，我们构造了具有最大可能正则性的Cauchy问题的近似解和精确解。此外，利用Hilbert空间方法，我们构造了Carleman公式，用于由Sobolev空间$H^1(D)$中的（向量）函数$u$在其边界上子集$S$的Cauchy数据$t_i(u)$以及$A_i u$在$D$中的值模去Cauchy问题的零空间来表示$u$。还考虑了具有常系数的椭圆算子复形的一些启发性例子。