通过 Feynman 公式求解 Hilbert 空间中的抛物型微分方程——第一部分与第二部分

考虑抛物型偏微分方程 $u'_t(t,x)=Lu(t,x)$，其中 $L$ 是一个具有与时间无关系数（可能依赖于 $x$）的线性二阶微分算子。假设空间坐标 $x$ 属于有限维或无限维实可分 Hilbert 空间 $H$。在假设该方程存在强连续解析半群的前提下，我们通过 Feynman 公式构建了该半群的表示形式，即将其写为当积分重数趋于无穷时，在 $H$ 上的多重积分的极限。该表示给出了 Cauchy 问题在 $H$ 上光滑柱状函数集的一致闭包中的唯一解。此外，该解连续依赖于初始条件。在 $L$ 中一阶导数项的系数为零的情况下，我们证明了强连续解析半群的存在性（这意味着在上述类别中 Cauchy 问题存在唯一解），并且 Cauchy 问题的解连续依赖于方程的系数。