抛物方程的加速分裂方法

我们通过在 $(0,T]\times\bR^d$ 上求解 Cauchy 问题 $$\frac{\partial}{\partial t} u(t,x)=Lu(t,x)+f(t,x), \quad (t,x)\in(0,T]\times\bR^d,$$ $$u(0,x)=u_0(x),\quad x\in\bR^d$$ 来逼近解 $u$，将原方程分裂为系统 $$\frac{\partial}{\partial t} v_r(t,x)=L_rv_r(t,x)+f_r(t,x), \qquad r=1,2,...,d_1,$$ 其中 $L,L_r$ 为二阶微分算子，$f$、$f_r$ 为 $t,x$ 的函数，满足 $L=\sum_r L_r$，$f=\sum_r f_r$。在 Sobolev 空间 $W^m_p$ 中可解性的自然条件下，我们证明对任意 $k>1$，可通过沿一时间离散序列对解 $v_r$ 作适当组合，以 $\delta^k$ 阶误差逼近解 $u$，其中 $\delta$ 正比于网格步长。该结果通过使用 [7] 中引入的时间变换，结合 Richardson 方法以及分裂逼近误差关于 $\delta$ 的幂级数展开得到。