关于具有一般连续非线性的标量半线性抛物型偏微分方程 Cauchy 问题相关的 $L^\infty$ 泛函导数估计

本文考虑具有连续非线性 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 和初始数据 $u_0:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 的标量半线性抛物型偏微分方程 Cauchy 问题的有界经典解 $u:\mathbb{R}\times [0,T]\to\mathbb{R}$ 的一阶空间导数的 $L^\infty$ 泛函导数估计，形式为 $$\sup_{x\in\mathbb{R}}|u_x (x , t)| \leq \mathcal{F}_t (f,u_0,u) \ \ \ \ \forall t\in [0,T] .$$ 这里 $\mathcal{F}_t:\mathcal{A}_t\to\mathbb{R}$ 是 \textsection 1 中定义的泛函。我们通过构造序列 $(f_n,0,u^{(n)})$ 证明该泛函导数估计是非平凡地尖锐的，其中对每个 $n\in\mathbb{N}$，$u^{(n)}:\mathbb{R}\times [0,T]\to\mathbb{R}$ 是具有零初始数据和非线性 $f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 的 Cauchy 问题的解，且满足 $\sup_{x\in\mathbb{R}} |u_x^{(n)}(x,T)| \geq \alpha >0$，以及 $$\lim_{n\to\infty} \left( \inf_{t\in [0,T]} \left( \sup_{x\in\mathbb{R}}|u_x^{(n)}(\cdot , t)| - \mathcal{F}_t (f_n , 0 , u^{(n)}) \right) \right) = 0 .$$