振荡积分的 $L^1$ 估计在类抛物型半线性结构阻尼 $\sigma$-演化模型中的应用

我们研究如下半线性结构阻尼 $\sigma$-演化模型的柯西问题：\begin{equation*} u_{tt}+ (-\Delta)^\sigma u+ \mu (-\Delta)^\delta u_t = f(u,u_t),\, u(0,x)= u_0(x),\, u_t(0,x)=u_1(x) \end{equation*} 其中 $\sigma \ge 1$、$\mu>0$ 且 $\delta \in (0,\frac{\sigma}{2})$。此处函数 $f(u,u_t)$ 表示给定数 $p>1$ 的幂次非线性项 $|u|^{p}$ 与 $|u_t|^{p}$。我们感兴趣的是应用修正贝塞尔函数理论与 Fa\`{a} di Bruno 公式，对相应右端为零的线性模型解的表达中的振荡积分研究其 $L^{1}$ 估计。通过对初值附加 $L^{m}$ 正则性假设，我们利用 $(L^{m}\cap L^{q})- L^{q}$ 与 $L^{q}- L^{q}$ 估计（其中 $q\in (1,\infty)$、$m\in [1,q)$），基于 $L^q$ 空间的适当函数空间证明上述半线性模型小初值 Sobolev 解的（时间上）整体存在性。