圆柱域中抛物线抽象演化方程与均匀局部 Sobolev 空间

本文中，我们考虑形如 $$\partial_t u(x,t)=\Delta u(x,t) - Bu(x,t) + F(u(x,t))$$ 的抛物线方程，其中 $u$ 取值于横向 Hilbert 空间 $Y$，且 $B$ 是 $Y$ 上的正自伴算子，允许在横向方向上采用不同的扩散机制。我们旨在考虑具有无限能量的解，并在与范数 $$\|u\|_{L^2_{\text{ul}}(\mathbb{R},Y)}= \sup_{a\in\mathbb{R}^d} \|u(x)\|_{L^2(B(a,1),Y)}.$$ 相关的均匀局部空间中求解 Cauchy 问题。对于经典抛物线方程，即当 $Y=\mathbb{R}$ 时，已知在均匀局部空间的弱版本中 Cauchy 问题是不可导数的，但在要求额外均匀连续性的强版本中是 well-posed 的。在本文中，我们证明线性算子 $\partial^2_{xx} - B$ 在任何均匀局部 Lebesgue 空间的版本中都不一定是 sectorial 算子，由于其域可能不存在密度。然后，我们使用抛物线抽象演化方程的理论来设置一个即使在均匀局部空间的弱版本中也能 well-posed 的 Cauchy 问题。特别是，我们认为本文为比较两种均匀局部空间的版本提供了新的视角，也为具有非稠密域的微分算子提供了新的自然实例。