Musielak-Orlicz 空间中一类双非线性演化方程

本文研究形如 $A(u_t) + B(u) = f$ 的抛物演化方程，其定义于 ${\bf R}^d$（$d \geq 1$）中光滑有界域，并配以初始条件以及（为简便）齐次 Dirichlet 边界条件。此处 $-B$ 表示一个可能非线性的扩散算子，其可属于极广的一类，包括 Laplacian、适用于某 $m\in(1,\infty)$ 的 $m$-Laplacian、变指数 $m(x)$-Laplacian，甚至某些分数阶算子。算子 $A$ 假定为 $[A(v)](x, t) = \alpha(x, v(x, t))$ 的形式，其中 $\alpha$ 关于 $x$ 可测且关于 $v$ 极大单调。主要结果致力于证明对一类广泛的函数 $\alpha$ 存在弱解，该类别推广了先前变指数情形 $\alpha(x, v) = |v(x)|^{p(x)-2} v(x)$ 的相关结果。为此，将在满足所谓 $\Delta_2$ 型结构条件的 Musielak-Orlicz 空间中建立次微分算子理论，并发展作用于该类空间上极大单调算子的逼近框架。该理论随后被应用于给出某具体方程的存在性结果，但其本身可能具有独立意义。最后，通过给出若干可应用该结果的具体方程（以及相应的算子 $A$、$B$）来说明此存在性结果。