关于无穷非自主扰动下线性演化方程的良好可解性

我们研究线性演化方程形式的非自主扰动的良好可解性条件，即 $$u'(t)=(A+B(t))u(t), \quad t \in [a,b],$$ 其中 $A$ 生成一个 $\mathrm{C}_0$-半群 $\left (T(t)\right )_{t\ge 0}$，满足 $\| T(t)\| \le Me^{\omega_0 t}$，$t\ge 0$，在 Banach 空间 $\mathbb{X}$ 中，$B(t)$ 为 $t$-依赖的（无穷）线性算子。假设无穷扰动算子 $B(t)$ 属于由满足 $D(A) \subset D(C)$ 的无穷线性算子 $C$ 组成的规范空间（记为 $\mathcal{GL}_A (\mathbb{X})$），其范数为 $$\| C\|_A:= (1/M) \sup_{\mu >\omega_0 } \| (\mu-\omega_0) CR(\mu,A)\| <\infty.$$ 我们证明上述演化方程在 $\| B(\cdot)\|_A$ 在 $[a,b]$ 中连续时，存在演化族。若 $B(\cdot)R(\mu, A)$ 作为函数 $[a,b]\to \mathcal{L}(\mathbb{X})$ 连续可微，并且 $$\limsup_{\mu \to\infty} \sup_{t\in [a,b]} \left \| \frac{d}{dt}[B(t)R(\mu,A)]\right \| <\infty,$$ 则演化族唯一。给出示例以说明所得结果。