关于演化族观测算子的可容许性

本文研究非自治演化方程的无界观测算子。固定 $\tau > 0$,令 $\left(A(t)\right)_{t \in [0,\tau]} \subset \mathcal{L}(D,X)$,其中 $D$ 和 $X$ 是两个 Banach 空间,且 $D$ 连续稠密地嵌入到 $X$ 中。我们假设算子 $A(t)$ 对所有 $t \in [0,\tau]$ 具有最大正则性,且 $A(\cdot) : [0,\tau] \to \mathcal{L}(D,X)$ 满足一个正则性条件(即对于某个 $p \in (1,\infty)$ 为相对 $p$-Dini 的)。首先,我们证明在 $X$ 上存在与该问题相关联的演化族 $$\dot{u}(t) + A(t) u(t) = 0 \quad t\text{ a.e. on } [0,\tau], \qquad u(0) = x \in X.$$ 随后我们证明,观测算子对 $A(\cdot)$ 可容许当且仅当它对所有 $t \in [0,\tau)$ 的每一个 $A(t)$ 均可容许。