Banach 空间中抽象演化方程解在非经典假设下的稳定性

研究方程 $(*)\dot{u} = F(t,u)+f(t)$, $t\ge 0$, $u(0)=u_0$ 解的稳定性。这里对任一固定 $t\ge 0$, $F(t,u)$ 是 Banach 空间 $\mathcal{X}$ 中的非线性算子，且 $F(t,0)=0$, $\forall t\ge 0$。我们假设对任一固定 $t\ge 0$, $F(t,u)$ 的 Fr\'echet 导数关于 $u$ 是阶 $q>0$ 的 H"{o}lder 连续的，即 $\|F'_u(t,w) - F'_u(t,v)\|\le \alpha(t)\|v - w\|^{q}$, $q>0$。我们证明在持续作用扰动 $f(t)$ 下，方程 $\dot{v} = F(t,v)$ 的平衡解 $v=0$ 是 Lyapunov 稳定的，若 $\sup_{t\ge 0}\int_0^t \alpha(\xi)\|U(t,\xi)\|\, d\xi<\infty$ 且 $\sup_{t\ge 0}\|U(t)\|<\infty$。此处 $U(t):=U(t,0)$, $U(t,\xi)$ 是方程 $\frac{d}{dt}{U}(t,\xi) = F'_u(t,0)U(t,\xi)$, $t\ge \xi$, $U(\xi,\xi)=I$ 的解，其中 $I$ 是 $\mathcal{X}$ 中的恒等算子。提出并论证了方程 (*) 的解 $u(t)$ 有界以及 $\lim_{t\to\infty}u(t) = 0$ 的充分条件。也研究了 Hilbert 空间中带无界算子的方程解的稳定性。