关于具有 Hartree 型非线性的分数阶 Schr\"{o}dinger 方程的 Cauchy 问题

我们研究了分数阶 Schr\"{o}dinger 方程的 Cauchy 问题：$$i\partial_tu = (m^2-\Delta)^\frac\alpha2 u + F(u) \text{ in } \mathbb{R}^{1+n},$$ 其中 $n \ge 1$，$m \ge 0$，$1 < \alpha < 2$，且$F$代表 Hartree 型非线性：$$F(u) = \lambda (\frac{\psi(\cdot)}{|\cdot|^\gamma} * |u|^2)u$$ 其中$\lambda = \pm1$，$0 <\gamma < n$，且$0 \le \psi \in L^\infty(\mathbb R^n)$。我们证明了对于特定的$\alpha$、$\gamma$、$\lambda$和$\psi$，局部和全局解的存在性与唯一性。我们还讨论了当$\lambda = -1$时解的有限时间爆破现象。