Korteweg-de Vries方程某些高阶推广的柯西问题

本文研究高阶微分方程 $\frac{\partial u(y,x)}{\partial y}+P(\frac{\partial}{\partial x})u(y,x)=\gamma\frac{\partial}{\partial x}(u^2(y,x))+F(y,x)$ 的柯西问题。我们证明，在快速衰减的Schwartz函数类上，该问题对于线性 ($\gamma =0$) 和非线性方程都是适定的。此外，对于初始条件给定在 $L_2(\mathbf{R}^1)$ 上的情形，我们证明在空间 $L_{\infty}(0,y_0; L_2(\mathbf{R}^1))\bigcap L_2(0,y_0; H^{n-1}(\mathbf{R}^1))\bigcap L_2(0,y_0;H^{n}(-r, r))$ 上存在唯一解，其中 $r$ 是任意正数。还证明了该解连续依赖于初始条件。