具有双指数尾的抛物Anderson模型中的质量集中与老化

我们研究抛物方程 $\partial_t u=\Delta u+\xi u$ 在 $\mathbb Z^d\times(0,\infty)$ 上 Cauchy 问题的解 $u=u(x,t)$，其初始数据为 $u(x,0)=1_{\{0\}}(x)$。这里 $\Delta$ 是 $\mathbb Z^d$ 上的离散 Laplace 算子，$\xi=(\xi(z))_{z\in\mathbb Z^d}$ 是具有双指数上尾的 i.i.d. 随机场。我们证明，对于较大的 $t$，以大概率，解的总质量 $U(t):=\sum_x u(x,t)$ 的大部分位于某个位点 $Z_t$ 的有界邻域内，该位点在 Anderson Hamiltonian $\Delta+\xi$ 的局部 Dirichlet 特征值与到原点的距离之间实现了最优折中。证明了过程 $t\mapsto Z_t$ 和 $t \mapsto \tfrac1t \log U(t)$ 在空间和时间的适当缩放下依分布收敛。还建立了 $Z_t$ 以及抛物问题解的老化结果。证明利用了前两位作者最近证明的 $\Delta+\xi$ 在大集合中特征值次序统计的刻画。