动态随机环境中的抛物型 Anderson 模型：淬灭 Lyapunov 指数的基本性质

本文研究抛物型 Anderson 方程 $\partial u(x,t)/\partial t=\kappa\Delta u(x,t)+\xi(x,t)u(x,t)$，其中 $x\in\Z^d$，$t\geq 0$，$u$ 场和 $\xi$ 场取 $\R$ 值，$\kappa \in [0,\infty)$ 为扩散常数，$\Delta$ 为离散拉普拉斯算子。初始条件 $u(x,0)=u_0(x)$ ($x\in\Z^d$) 设为非负有界。该抛物型 Anderson 方程的解描述了一个粒子场的演化，这些粒子执行独立的简单随机游走并进行二元分支：粒子以 $2d\kappa$ 的速率跳跃，以 $\xi\vee 0$ 的速率分裂为两个，并以 $(-\xi)\vee 0$ 的速率死亡。我们的目标是在对 $\xi$ 尽可能弱的假设下，证明解 $u$ 的若干基本性质。全文假设 $\xi$ 在时空平移下是平稳且遍历的，非常数，且满足 $\E(|\xi(0,0)|)<\infty$，其中 $\E$ 表示关于 $\xi$ 的期望。在关于 $\xi$ 分布尾部的温和假设下，我们证明了对于所有 $\kappa\in [0,\infty)$，抛物型 Anderson 方程的解存在且唯一。我们主要关注的对象是淬灭 Lyapunov 指数 $\lambda_0(\kappa)=\lim_{t\to\infty}\frac{1}{t}\log u(0,t)$。在关于 $\xi$ 的某些弱时空混合条件下，我们证明了以下性质：(1) $\lambda_0(\kappa)$ 不依赖于初始条件 $u_0$；(2) 对于所有 $\kappa\in [0,\infty)$，$\lambda_0(\kappa)<\infty$；(3) 映射 $\kappa \mapsto \lambda_0(\kappa)$ 在 $[0,\infty)$ 上连续但在 0 处非 Lipschitz 连续。我们进一步猜想：(4) 对于所有 $p\in\N$，$\lim_{\kappa\to\infty}[\lambda_p(\kappa)-\lambda_0(\kappa)]=0$，其中 $\lambda_p (\kappa)=\lim_{t\to\infty}\frac{1}{pt}\log\E([u(0,t)]^p)$ 为第 $p$ 个退火 Lyapunov 指数。最后，我们证明了关于 $\xi$ 的弱时空混合条件对几类相互作用粒子系统均成立。