由分数噪声驱动的抛物Anderson模型的Feynman-Kac表示

我们考虑由分数噪声驱动的抛物Anderson模型： $$\frac{\partial}{\partial t}u(t,x)= \kappa \boldsymbol{\Delta} u(t,x)+ u(t,x)\frac{\partial}{\partial t}W(t,x) \qquad x\in\mathbb{Z}^d\;,\; t\geq 0\,,$$ 其中$\kappa>0$为扩散常数，$\boldsymbol{\Delta}$为由$\boldsymbol{\Delta} f(x)= \frac{1}{2d}\sum_{|y-x|=1}\bigl(f(y)-f(x)\bigr)$定义的离散拉普拉斯算子，且$\{W(t,x)\;;\;t\geq0\}_{x \in \mathbb{Z}^d}$是以$\mathbb{Z}^d$为指标的、Hurst参数为$H\in(0,1)$的一族独立分数布朗运动。我们通过用一族具有绝对连续样本轨道的高斯过程逼近分数布朗运动，借助由此获得的Stratonovich积分来明确该方程的意义。我们证明Feynman-Kac表示 \begin{equation} u(t,x)=\mathbb{E}^x\Bigl[u_o(X(t))\exp \int_0^t W\bigl(\mathrm{d}s, X(t-s)\bigr)\Bigr]\,, \end{equation} 是该问题的一个温和解。这里$u_o(y)$是位点$y\in\mathbb{Z}^d$处的初值，$\{X(t)\;;\;t\geq0\}$是以$x \in \mathbb{Z}^d$为起点且与族$\{W(t,x)\;;\;t\geq0\}_{x\in\mathbb{Z}^d}$独立的、跳速为$\kappa$的简单随机游动，$\mathbb{E}^x$是关于该随机游动的期望。我们给出了一个适用于任意Hurst参数$H\in (0,1)$的统一论证。