动态随机环境中的抛物型 Anderson 模型：淬火 Lyapunov 指数的时空遍历性

我们继续研究抛物型 Anderson 方程 $\partial u(x,t)/\partial t = \kappa\Delta u(x,t) + \xi(x,t)u(x,t)$，其中 $x\in\Z^d$，$t\geq 0$，$\kappa \in [0,\infty)$ 为扩散常数，$\Delta$ 为离散拉普拉斯算子，$\xi$ 作为驱动该方程的\emph{动态随机环境}。初始条件取为非负有界函数 $u(x,0)=u_0(x)$，$x\in\Z^d$。抛物型 Anderson 方程的解描述了执行独立简单随机游走并进行二元分支的粒子场的演化：粒子以速率 $2d\kappa$ 跳跃，以速率 $\xi \vee 0$ 分裂为两个，并以速率 $(-\xi) \vee 0$ 死亡。我们假设 $\xi$ 在时空平移下是平稳且遍历的，非常数，且满足 $\E(|\xi(0,0)|)<\infty$，其中 $\E$ 表示关于 $\xi$ 的期望。我们关注的主要对象是淬火 Lyapunov 指数 $\lambda_0 (\kappa) = \lim_{t\to\infty} \frac{1}{t}\log u(0,t)$。在早期工作中，我们证明了在某些温和的时空混合假设下，该极限 $\xi$-几乎必然存在、有限且在 $[0,\infty)$ 上连续，在 $(0,\infty)$ 上全局 Lipschitz 连续，在 0 处非 Lipschitz 连续，并满足 $\lambda_0(0) = \E(\xi(0,0))$ 且对于 $\kappa \in (0,\infty)$ 有 $\lambda_0(\kappa) > \E(\xi(0,0))$。在本文中，我们在对 $\xi$ 附加时空混合条件的情况下，证明了 $\lim_{\kappa\to\infty} \lambda_0(\kappa) =\E(\xi(0,0))$。这一结果表明，抛物型 Anderson 模型在大扩散极限下表现出时空遍历性。这一事实很有趣，因为存在一些满足我们假设的 $\xi$ 选择，其退火 Lyapunov 指数 $\lambda_1(\kappa) = \lim_{t\to\infty} \frac{1}{t}\log \E(u(0,t))$ 在 $[0,\infty)$ 上为无穷大，这种情况被称为强催化行为。