动态随机环境中抛物线Anderson模型的淬灭Lyapunov指数

我们继续研究时空场 $u\colon\,\Z^d\times [0,\infty)\to\R$ 的抛物线Anderson方程 $\partial u/\partial t = \kappa\Delta u + \gamma\xi u$，其中 $\kappa \in [0,\infty)$ 是扩散常数，$\Delta$ 是离散拉普拉斯算子，$\gamma\in (0,\infty)$ 是耦合常数，$\xi\colon\,\Z^d\times [0,\infty)\to\R$ 是驱动该方程的时空随机环境。该方程的解描述了“反应物” $u$ 在“催化剂” $\xi$ 影响下的演化，两者均存在于 $\Z^d$ 上。在早期工作中，我们考虑了 $\xi$ 的三种选择：独立简单随机游走、对称排他过程和对称投票模型，均在给定密度下处于平衡态。我们分析了\emph{退火}Lyapunov指数，即 $u$ 相对于 $\xi$ 的各阶矩的指数增长率，并表明这些指数对扩散常数 $\kappa$ 表现出有趣的依赖性，在不同维度 $d$ 中具有定性行为差异。在本文中，我们关注\emph{淬灭}Lyapunov指数，即在给定 $\xi$ 条件下 $u$ 的指数增长率。我们首先证明了对于在 $\Z^d$ 平移下平稳且遍历并满足某些噪声条件的一般 $\xi$，淬灭Lyapunov指数的存在性，并推导了其一些定性性质。之后，我们关注上述 $\xi$ 的三种特定选择，并推导了更详细的性质。最后，我们提出了若干开放问题。