谱分数阶拉普拉斯算子椭圆与抛物型边值问题的随机解法

我们证明并实现了涉及具有非零 Dirichlet 边界条件的谱分数阶拉普拉斯算子的边值问题的随机解（或称 Feynman-Kac）公式。证明中使用的主要工具是 Feller 半群的抽象 Cauchy 问题以及 Balakrishnan 的分数幂理论。我们证明了具有非零 Dirichlet 边界条件的谱分数阶拉普拉斯算子是 subordinate stopped Brownian motion（从属停止布朗运动）的适当 Feller 半群的生成元，并得到了有界域中分数阶热方程的随机解公式。随后，我们利用经典解的特征函数展开得到了抛物型问题的精确正则性与稳态收敛性质，从而得到从属停止布朗运动生存概率的估计。这些结果使我们能够在抛物型公式中取长时间极限，从而建立 Dirichlet 边值问题的随机解公式。这些针对具有非零边界条件的谱分数阶拉普拉斯算子的随机解公式是新颖的，并允许对上述边值问题进行高效的、易并行化的局部求解。我们讨论了这些公式的离散化，并在二维和三维中用基准算例对其进行了验证。我们研究了路径样本数量以及路径离散化的时间步长对解精度的影响。