带Dirichlet边界条件的退化椭圆与抛物型边值及障碍问题解的Feynman-Kac公式

我们证明了一类一般Markov扩散过程相关的椭圆与抛物型边值问题及障碍问题的Feynman-Kac公式。我们的扩散模型涵盖了若干流行的随机波动率模型，如Heston模型、CEV模型和SABR模型，这些模型在数理金融中被广泛用作资产定价模型。该带kill项的Markov过程的生成元是一个二阶退化椭圆偏微分算子，其算子符号中的退化程度与到上半平面边界的距离的2α次幂成正比，其中α∈(0,1]。我们的随机表示公式为椭圆边值问题和障碍问题提供了唯一解，当我们寻求在上半平面边界中包含的边界部分Γ₀上具有适当光滑性的解时。在给定完整Dirichlet条件的情况下，我们的随机表示公式提供了唯一解，但这些解在边界部分Γ₀上仅保证连续，不一定具有更高的光滑性。