通过全纯映射利用经典 Perron 方法研究退化椭圆算子边值问题与障碍问题光滑解的存在性
偏微分方程分析
2013-04-19 v2 微分几何
概率论
摘要
我们利用一种新版本的 Perron 方法，证明了具有部分 Dirichlet 边界条件的退化椭圆、线性、二阶偏微分算子的边值问题和障碍问题解的存在性。所考虑的椭圆算子在部分区域边界上具有退化性，这种退化类似于 Daskalopoulos 和 Hamilton (1998) 在研究多孔介质方程时确定的模型线性算子的退化，或类似于数学金融中 Heston 算子 (1993) 的退化。在半球上 Dirichlet 问题解的存在性（其中算子在平坦边界上退化，且仅在球面边界上施加 Dirichlet 条件）为我们的 Perron 方法提供了关键补充要素。通过适当的微分同胚（在二维情况下变为全纯映射），半球上的 Dirichlet 问题解可以转化为无限平板上的 Dirichlet 问题。尽管如此，所需的 Schauder 正则性理论以及平板上 Dirichlet 问题解的存在性仍可利用作者与 C. Pop 之前的工作 [arXiv:1210.6727] 获得。我们的 Perron 方法依赖于退化椭圆算子的弱和强极值原理、退化椭圆算子边值问题和障碍问题的连续下解和上解概念，以及作者此前开发的极值和比较原理估计 [arXiv:1204.6613]。
引用
@article{arxiv.1302.1849,
title = {A classical Perron method for existence of smooth solutions to boundary value and obstacle problems for degenerate-elliptic operators via holomorphic maps},
author = {Paul M. N. Feehan},
journal= {arXiv preprint arXiv:1302.1849},
year = {2013}
}
备注
61 pages, 5 figures