粗糙集上的椭圆算子及具有 Hölder 空间边界数据的 Dirichlet 问题

本文研究具有 Hölder 空间边界数据的实值二阶散度型椭圆算子的 Dirichlet 问题。我们的背景是满足容量密度条件的开集 $\Omega \subset \mathbb{R}^{n+1}$（$n \ge 2$），且不作任何进一步拓扑假设。我们的主要结果表明：若 $\Omega$ 为有界集，或无界但边界无界，则相应的 Dirichlet 边值问题适定；当 $\Omega$ 无界而边界有界时，我们确立解存在，但一般而言不唯一。这些结果是最优的，因为 Hölder 空间中 Dirichlet 问题的可解性被证明蕴含容量密度条件。作为主结果推论，我们给出了 Hölder 空间通过解之边界迹的刻画，并获得了若干相关 Dirichlet 边值问题的适定性。上述所有结果即便对单侧弦弧域也是新的，并可推广到与一类自然增长函数相关联的广义 Hölder 空间。