关于非齐次完全非线性方程椭圆分支的Dirichlet问题的粘性解

对于依赖于 Hessian 和空间坐标的标量完全非线性偏微分方程，我们提出了一个通用理论，用于获得具有连续边界数据的关联 Dirichlet 问题的比较原理和适定性。特别地，我们处理方程椭圆分支的容许粘性解，其中非线性项不必在全体 N×N 对称矩阵空间上单调。方程的椭圆分支（在 Krylov 1995 的意义下）由从坐标域到对称矩阵的椭圆子集的集值映射（椭圆映射）编码。非线性项将沿此映射单调，且退化椭圆 PDE 被微分包含（differential inclusion）替代。此类微分包含的弱解通过使用 Harvey-Lawson (2009) 给出的概念以逐点方式定义。如果椭圆映射是一致上半连续的，我们证明比较原理对这些弱解成立，并且 Perron 方法在边界相对于 Harvey 和 Lawson 意义下的椭圆映射及其对偶适当凸的条件下，给出关联抽象 Dirichlet 问题的唯一连续解。当该映射编码给定 PDE 的椭圆分支时，这些解被证明是 PDE 问题的容许粘性解。各种应用根据确保所需椭圆映射存在的结构条件加以描述。例子包括非完全退化方程以及涉及 Hessian 特征值及其扰动的方程。在某些情况下，此处采用的方法将被证明可自由运作，而经典粘性方法则可能不行。