一类与带随机跳跃和消失扩散的扩散过程相关的非局部椭圆算子的退出问题渐近性与主特征值

设 $D\subset R^d$ 为有界区域，并记 $\mathcal P(D)$ 为 $D$ 上概率测度的空间。令 \begin{equation*} L=\frac12\nabla\cdot a\nabla +b\nabla \end{equation*} 为一个二阶椭圆算子。设 $\mu\in\mathcal P(D)$ 且 $\delta>0$。考虑 $D$ 中的一个马尔可夫过程 $X(t)$，它在 $D$ 内进行由算子 $\delta L$ 生成的扩散并在边界处停止，同时在运行过程中，按照一个空间依赖强度 $V>0$ 的指数时钟，瞬时跳跃到一个新点，该新点服从分布 $\mu$。该马尔可夫过程由如下定义的算子 $L_{\delta,\mu, V}$ 生成：\begin{equation*} L_{\delta,\mu, V}\phi\equiv \delta L \phi+V(\int_D\phi d\mu-\phi). \end{equation*} 令 $\phi_{\delta,\mu,V}$ 表示如下狄利克雷问题的解：\begin{equation*}\label{Dirprob} \begin{aligned} &L_{\delta,\mu,V}\phi=0\ \text{在}\ D\text{内};\\ &\phi=f\ \text{在}\ \partial D\text{上}, \end{aligned} \end{equation*} 其中 $f$ 是连续的。该解具有随机表示 \begin{equation*} \phi_{\delta,\mu,V}(x)=E_xf(X(\tau_D)). \end{equation*} 已知 $\phi_{0,\mu,V}(f)\equiv\lim_{\delta\to0}\phi_{\delta,\mu,V}(x)$ 与 $x\in D$ 无关。我们在 $\mu$ 在 $\partial D$ 的邻域内具有密度的情形下计算该常数。我们还研究了当 $\delta\to0$ 时算子 $L_{\delta,\mu, V}$ 的主特征值 $\lambda_0(\delta,\mu,V)$ 的渐近行为，这推广了先前在 $L=\frac12 \Delta$ 情形下得到的结果。