$\mathbb{R}^d$ 中椭圆算子主特征值的严格单调性与风险敏感控制

本文研究了与非负退化扩散相关的、形如 $\mathscr{L} = a^{ij}\partial_{x_i}\partial_{x_j} + b^{i}\partial_{x_i} + f$ 的一类二阶椭圆算子在 $\mathbb{R}^d$ 上的特征值问题。我们证明了该算子主特征值关于势函数 $f$ 的严格单调性完全刻画了相关基态扩散的遍历性质以及基态的唯一性，并从此视角对特征值问题进行了全面研究。这使得我们能够将文献中关于一类具有光滑系数的遍历型粘性 Hamilton-Jacobi 方程的各种结果扩展或加强到具有可测漂移和势的方程。此外，我们建立了这些遍历控制问题等价的无限维线性规划公式的强对偶性。我们还将结果应用于扩散过程的无限水平风险敏感控制问题，建立了最优 Markov 控制的存在性、最优性结果的验证，以及受控主特征值关于平稳 Markov 控制的连续性。