有限熵条件下的Feynman-Kac公式

受熵最优传输的启发,我们研究具有终值边界条件的抛物方程$(\partial_t + b\cdot \nabla + \Delta _{ a}/2 +V)g =0$解的扩展概念。众所周知,当漂移$b$、扩散矩阵$a$与标量势$V$足够正则且增长不太快时,该PDE的粘性解$g$由Feynman-Kac公式表示。本文中,$b$与$V$不被假设为正则,其增长由有限熵条件控制,例如允许$V$属于某Kato类。我们证明Feynman-Kac公式以扩展意义表示抛物方程的一个解。该解概念是轨迹性的,并用Markov生成元$b\cdot \nabla + \Delta _{ a}/2$的半鞅扩张表示。我们的概率方法依赖于随机导数、半鞅、Girsanov定理以及$\log g$满足的Hamilton-Jacobi-Bellman方程。