非光滑区域上抛物型边值问题弱解的概率表示
概率论
2020-03-27 v2 偏微分方程分析
摘要
我们在以下框架下建立了抛物型边值问题弱解的概率表示。该边值问题由定义于欧几里得空间中时变 Lipschitz 区域上的二阶抛物型方程,以及由 Robin 条件和齐次 Dirichlet 条件组成的混合边界条件构成。假设时变区域包含在一个固定的光滑区域内,且时变区域的某部分边界也包含在该固定区域的边界(即固定边界)内。Robin 条件施加于包含在固定边界内的那部分边界上,而 Dirichlet 条件施加于其余边界上。对于给定数据,这样的抛物型边值问题总是存在唯一的弱解;然而,一般情况下它不存在经典解或强解,即使是常系数方程也是如此。我们还考虑了该边值问题的随机解,并通过证明两种解之间的相等性,得到了弱解的概率表示。此外,我们确保对于弱解,随机解给出了一个在直至区域侧边界(除施加各边界条件的交界处外)连续的版本。作为应用,我们展示了一个与由确定区域形状的逆问题所驱动的最优停止问题相关的泛函(代价函数)的连续性性质。
引用
@article{arxiv.1710.05136,
title = {Probabilistic representation of weak solutions to a parabolic boundary value problem on a non-smooth domain},
author = {Masaaki Tsuchiya and Hajime Kawakami},
journal= {arXiv preprint arXiv:1710.05136},
year = {2020}
}
备注
41 pages