具有白噪声势的二维抛物安德森模型的长时间渐近性

我们考虑 $\mathbb R^2$ 中的抛物安德森模型（PAM）$\partial_t u = \frac12 \Delta u + \xi u$，其中 $\xi$ 为高斯（空间）白噪声势。我们证明在 $t \to \infty$ 时，时刻 $t$ 的总质量（记为 $U(t)$）的几乎必然大时间渐近行为由 $\log U(t)\sim \chi t \log t$ 给出，其中确定性常数 $\chi$ 由变分公式确定。在一位作者的早期工作中，该常数被用于描述具有 Dirichlet 边界条件的安德森算子在盒子 $Q_t= [-\frac{t}{2},\frac{t}{2}]^2$ 上主特征值 $\boldsymbol \lambda_1(Q_t)$ 的渐近行为 $\boldsymbol \lambda_1(Q_t)\sim\chi\log t$。