具有广义时空高斯噪声的抛物安德森模型的空间渐近性

部分受 Conus、Joseph 和 Khoshnevisan [Ann. Probab. 41 (2013) 2225-2260] 以及 Conus 等人 [Probab. Theory Related Fields 156 (2013) 483-533] 近期论文的启发，本研究关注抛物安德森方程 $$\cases{\displaystyle {\frac{\partial u}{\partial t}}(t,x)={\frac{1}{2}}\Delta u(t,x)+V(t,x)u(t,x),\cr u(0,x)=u_0(x),}$$ 的精确空间渐近行为，其中齐次广义高斯噪声 $V(t,x)$ 除其他形式外，可以是时间上和空间上的白噪声或分数白噪声。特别地，结合 KPZ 方程的 Cole-Hopf 解，对于具有 $(1+1)$-白噪声 $\dot{W}(t,x)$ 的抛物安德森模型 $\partial_tu={\frac{1}{2}}\partial_{xx}^2u+\dot{W}u$，得到了精确的渐近形式 $$\lim_{R\to\infty}(\log R)^{-2/3}\log\max_{|x|\le R}u(t,x)={\frac{3}{4}}\root 3\of {\frac{2t}{3}}\qquad a.s.$$。此外，还探讨了抛物安德森方程的时间与空间渐近性之间的某些联系。