渐近奇异 Anderson 哈密顿量与抛物型模型中的相变

设 $\xi$ 为 $\mathbb R^d$（$d=1,2,3$）上的高斯白噪声。设 $(\xi_\varepsilon)_{\varepsilon>0}$ 为连续高斯过程，由 $\xi$ 与 mollifier 卷积定义，且当 $\varepsilon\to0$ 时 $\xi_\varepsilon\to\xi$。我们考虑带有噪声 $\xi_{\varepsilon(t)}$ 的抛物型 Anderson 模型（PAM）在大数据时间 $t\gg1$ 下的渐近行为，以及带有势 $\xi_{\varepsilon(t)}$ 的 Anderson 哈密顿量（AH）在大区域 $(-t,t)^d$ 上的 Dirichlet 特征值，其中参数 $\varepsilon(t)$ 随 $t\to\infty$ 趋于零。我们证明了相关渐近性在 $\varepsilon(t)$ 趋于零的速率上呈现相变，由此区分了带连续高斯噪声与白噪声的 AH/PAM 中所观察到的行为。通过将我们的主要定理与先前关于白噪声 AH/PAM 的结果比较，我们的结果表明后者的某些渐近性可仅借初等方法获得，并且我们得到了当 $t\to\infty$ 时白噪声 AH/PAM 与其连续噪声近似之间差异的定量估计。