双曲空间中的抛物李亚普科夫模型与相变

考虑一种以高斯噪声为驱动的抛物李亚普科夫模型（Parabolic Anderson Model, PAM），该噪声在时间上为白色噪声、在空间上为彩色噪声，空间相关性随距离的多项式衰减，衰减阶数为 $\alpha$。在维数大于 $2$ 的欧几里得空间中，已知 $\alpha$ 的临界值为 $2$。具体而言，当 $\alpha<2$ 时，解的二阶矩随时间呈指数增长；而当 $\alpha>2$ 时，存在相变：当逆温度升高时，二阶矩从随时间均有上界转为随时间指数增长。这种临界行为源于在欧几里得空间中，布朗运动的扩散速度为 $\sqrt{t}$。本文探讨了 PAM 在双曲空间中的行为。鉴于双曲空间中布朗运动的扩散速度为 $t$，故预期 $\alpha=1$ 为上述现象的临界值。我们证实了这一直觉确实正确。此外，我们发现 $\alpha<1$ 时存在一种新相位，二阶矩以亚指数方式爆炸，这与欧几里得空间中的行为不同。